时间：2025.12.23号

地点：高二（1）班教室

参加人员：校数学教师

课题：《平均变化率》

签到：

活动过程：

评课过程：

主评人（严建英）

本节《平均变化率》作为微积分大厦的第一块基石，其教学成败直接关系到学生能否顺利跨越从常量数学到变量数学的思维鸿沟。从理科教学，

尤其是数学学科内在逻辑与思想方法传递的角度审视，本节课展现了诸多亮点，同时在深度与广度的拓展上亦有可精进之处。

一、 教学设计：注重概念生成，铺设思维阶梯

本节课最显著的成功之处在于，教师没有将“平均变化率”作为一个孤立的、静态的公式直接呈现，而是将其置于一个完整的“必要性探究-定义建

构-内涵辨析-初步应用” 的动态认知链条中。

1. 情境创设的学科化与思维导向：教师选取的气温变化、运动速度等实例，并非仅为激发兴趣，其精髓在于揭示了现实世界中广泛存在的“非均

匀变化”问题。这精准地指向了初等数学（研究常量或均匀变化）的局限，从而自然地、富有逻辑地提出了本课的核心问题：如何量化、比较一

个变量在某一区间内变化的“快慢”程度？ 这种从学科内在发展需求出发的引入，比单纯的生活化导入更具理科的严谨性和说服力，为学生营造

了“不得不学”的认知冲突。

2. 概念建构的逻辑性：在解决上述核心问题的过程中，教师的引导层层递进。从关注“变化量”（差值）的不足，到引入“时间跨度”作为参照，

再到最终将两者的比（差值商）定义为“平均变化率”，这一过程完全模拟了数学概念的抽象与概括过程。学生不仅记住了公式 ，更重要的是

经历了为何是“比值”而非“差值” 的深度思考，理解了该比值作为一个整体（单位变化量下的平均变化）来刻画变化快慢的合理性。这体现了

理科教学对概念本质的深度挖掘。

3. 数学思想的早期渗透：在分析平均变化率的几何意义（割线斜率）时，教师有意识地将代数形式与几何直观相联系，这是数形结合思想的

典型应用。更重要的是，通过对曲线上两点间平均变化率的讨论，悄然引入了“以直代曲”这一微积分核心思想的雏形。教师点明“它是对变化

快慢的一个‘粗糙’刻画”，实为后续引出“瞬时变化率”（需要无穷过程以达精确）埋下了深刻的伏笔，展现了教学设计的前瞻性和整体性。

二、 学生参与与教师引导：聚焦思维过程，强化科学表述

课堂呈现出良好的探究氛围。教师通过精心设计的问题链，将大问题分解，驱动学生步步为营。在讨论“股价先涨后跌，平均变化率为零”等

例子时，学生能主动辨析“平均变化率为零”与“没有变化”的区别，这表明他们对概念的理解已超越了表象，开始触及统计与趋势分析的初步思想。

教师的角色定位准确，作为引导者而非灌输者。在关键环节的提问（如“仅看差值够吗？”）具有启发性。板书设计清晰，将实例数据、抽象过程

和符号化定义并列呈现，有效辅助学生完成了从具体到形式化的思维跨越。同时，教师注重学生语言表达的规范性，及时纠正诸如“变化大就是

变化快”等模糊表述，引导其使用精确的数学语言，这是理科素养培养的重要一环。

三、 深化空间与教学建议：追求更高阶的思维挑战

尽管本节课基础扎实，但若以培养高水平理科素养的标准衡量，仍有可提升的维度：

1. 概念的深度辨析与批判性思维：在得出定义后，可设计更具挑战性的思辨问题。例如：

   · “平均变化率”的“平均”一词，在数学上与算术平均数有何关联与区别？（引导思考其“加权平均”或“整体均摊”的实质）。

   · 给定一个复杂的函数图像或情境描述，让学生判断在哪个区间上的平均变化率更大，并阐述理由。这要求学生不仅要计算，更要结合几何意义（割线陡峭程度）或实际背景进行综合推理。

   · 探讨：平均变化率值为正、负、零分别对应现实世界中怎样的变化趋势？它能揭示变化过程中的波动吗？由此引出其“掩盖细节”的局限性，为瞬时变化率的必要性提供更强烈的认知动力。

2. 例题与练习的梯度与广度：当前例题侧重于公式的直接应用。建议构建三个层次的训练体系：

   · 第一层（巩固）：基础计算，明确代数、几何意义。

   · 第二层（建模）：提供文字描述的实际问题（如经济、生物增长模型），学生需自主抽象出函数关系 y=f(x)，再求指定区间上的平均变化率。这强化数学建模能力。

   · 第三层（探究）：设计开放性或跨学科问题。例如，给出某物体运动的速度-时间图像（v-t图），问其位移（s）在某段时间内的平均变化率有何物理意义？（即平均速度）。这巧妙地将导数与物理中的瞬时速度、平均速度概念进行前置关联，体现理科内部的融合。

3. 技术整合与直观深化：可适度利用图形计算器或几何画板等动态数学软件。实时拖动曲线上的一点，观察另一点固定时，割线斜率（即平均变化率）的动态变化。这能让学生直观感受当两点无限接近时，平均变化率趋向于一个确定值（瞬时变化率）的过程，将极限思想以可视化的方式提前植入，让后续学习“水到渠成”。

张梦颖老师的教学设计：

5.1　导数的概念    5.1.1　平均变化率

1. 了解平均变化率的定义．

2. 通过平均变化率体会如何用数学模型刻画变量的变化快慢．

3. 了解函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率．

活动一 了解平均变化率的概念

情境： 观察：连云港市3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的当天最高气温变化曲线图（以3月18日为第一天）

问题1  曲线图中，A→B，B→C，温各变化了多少？

问题2  曲线图中，A→B，B→C，哪一段的气温变化快？

问题3 “气温陡增”的数学意义是什么？(从形与数两个方面给予解释)

问题3：从形的角度：比较曲线的陡峭程度；

从数的角度：气温在区间[1，32]上的平均变化率约为0.5；气温在区间[32，34]上的平均变化率为7.4.

问题4 如何量化直线的倾斜程度？

问题5 如何量化曲线的陡峭程度？

试结合上述问题总结平均变化率的概念．

1. 平均变化率：

问题6 如果把上述问题看成一个量为x，一个量为y，两者之间满足函数关系y＝f(x)，如何用代数式来表示平均变化率？.

试给出函数的平均变化率的概念．

2. 函数的平均变化率：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.

活动二 理解平均变化率的实际意义

例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．

例1　从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为 1 kg/月，

从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为0.4 kg/月．

例2　水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V(t)＝5e－0.1t(单位：cm3)，试计算第一个10 s内V的平均变化率．

例2　 第一个10 s内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 1 cm3/s(负号表示容器甲中的水在减少)．

活动三 了解函数y＝f(x)在区间[a，b]上的平均变化率的求法

例3　已知函数f(x)＝－4x＋1，g(x)＝－2x分别计算在区间[－3，－1]和[0，5]上函数f(x)及g(x)平均变化率．

例4　函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－4，在区间[0，5]上的平均变化率为－4；

函数g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2；在区间[0，5]上的平均变化率为－2.

解决函数平均变化率问题的关键是：(1) 函数的解析式；(2) 自变量的变化区间.

问题7 若将区间改为[1，1＋Δx]，结果如何？

问题7：(1) 函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝－4，

函数g(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝－2.综上可知，结果保持不变．

问题8 一次函数 y=kx+b在区间[x1，x2]上的平均变化率有什么特点？

问题8 一次函数在不同区间上的平均变化率等于斜率．

例4　已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率：

(1) [1，3]；　　    (2) [1，2]；      (3) [1，1.1];         (4) [1，1.001]．

例4　(1) 函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝4.

(2) 函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为＝3.

(3) 函数f(x)在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝2.1.

(4) 函数f(x)在区间[1，1.001]上的平均变化率为＝2.001.

1. 函数f(x)＝x2＋c(c∈R)区间上的平均变化率为(　　)

A. 2  B. 4  C. c  D. 2c

2. 函数y＝2x2－4在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．

1. B　2. 4＋2