2015年第四届TI数学创新思维解题大赛试题

说明：试题解答应写出文字说明、求证过程和演算步骤，画出必要的图形．写明所在省市（县）、学校名称、年级、姓名，以word文档提交．要求利用TI—nspire系列图形计算器进行解题．需要呈现的程序、数表等计算过程以tns格式文件作为附件提交．截止日期2015年9月30日止，在此期间参赛者可随时提交答案。每题请提交一个TI-Nspire制作的tns格式文件和一个WORD文档来描述解题操作过程，以附件形式发送到 timath@163.com，并在邮件标题中注明“第四届TI-Nspire手持技术创新思维解题大赛”字样。

1．植物学家通过测量云杉树干的周长 （单位：m) ，并利用函数模型 得出云杉的树龄（适用范围为树龄在10岁到120岁之间）．（树干的周长指在高于地面1.3 m处测得的树干周长．）

（1）       根据模型求树干周长为120 cm的云杉树龄；

（2）       根据该模型适用的树龄范围，求出适用的树干周长范围（用区间表示）．

2．坐标平面上的整点 满足： ，以定点 ， 为焦点、长轴长为整数的椭圆 恰过点 ，试求出所有整点 的坐标．（整点指的是横坐标与纵坐标都是整数的点．）

3．对含参数的函数解析式中的参数赋值可以画出一组函数图象．如对函数 的a赋值―2，―1，1，2，3，作图象可得五条抛物线（如图1(1)所示）．试构造一个含参数的函数解析式，并给出参数的一组取值，使其图象如图1(2)所示．（窗口设置 ）

   (1)                              (2)

图1

4．春节期间，有人想以手机“抢红包”游戏的方式给10位好友发红包，总金额为100元，红包的最小金额为0.01元，他希望每人都能得到一个．请你用TI图形计算器为他编写一个程序，生成10个随机数代表10个红包中的金额，并输出每个人抢得的红包金额（结果保留到0.01）．

5．已知抛物线 和 所围成的封闭曲线如图2所示．给定点 ，若此封闭曲线上的某对点关于点 对称，则称这对对称点为“好点”，试确定“好点”的个数．

 

 

 

                                                     图2

6．设r_i是（0，1）（i=1，2，3，…，n）上的随机数．利用表格工具或编写程序做下列实验，观察实验结果，猜想有关结论：

（1）计算差r₀－r₁（即rand()－rand()）100次，由此估计这个差是负数的概率；

（2）计算差r₀²－r₁r₂（即[rand()]²－rand()rand()）100次，由此估计这个差是负数的概率，并尝试给出准确值．

（3）计算差r₀³－r₁r₂r₃（即[rand()]³－rand()rand()rand()）100次，由此估记这个差是负数的概率，并尝试给出准确值．

你能给出一个一般性的结论吗？

7．已知数列{a_n}与{b_n}．

（1）若{a_n}与{b_n}满足 初始条件a₁＝1，b₁＝1．给n赋值，计算 ，你有什么发现？改变初始条件，你的结论改变吗？

（2）若{a_n}与{b_n}满足 初始条件a₁＝1，b₁＝1，其中M任意赋正值．给M赋值，计算 ，你又有什么发现？

B

C

A

8．平面上一质点B绕着A点作半径为3，角速度为1rad/s的匀速圆周运动；质点C又绕B点作半径为1，角速度为π rad/s的匀速圆周运动．点B的初始位置在线段AC上（如图3）．

（1）用适当的数学语言描述点C的轨迹；

（2）求点C的轨迹上任意一点离点C轨迹起始点的距离的最大值（精确到0.1）．

 

 

图3

9．养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型，通常保险公司会提供多种方式供投保人选择．某保险公司的一份材料上指出：在每月缴费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，届时月养老金为1056元；若45岁起投保，届时月养老金420元．请分别计算这三种情况下所交保险费获得的利率．（保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值为75岁．）

10．两个山坡间要修一条高速路，两山坡竖直剖面如图4所示．测量各点的坐标值如下表（单位：m）：

点	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
x	-331	-238.4	-153	-97	-47.2	-24.5	0	48.5	97	151.4	210.2	252.9	300
y	20.3	31.6	24.2	17.2	7.8	5.1	6.8	14	21.7	26.8	30.6	32	30

其中B，L为坡顶．BL之间路截面线设计利用函数模型 来确定，要求路面截线在点B，L处分别与山坡相切．

（1）       试确定函数模型 ；

（2）       如果从G点起（包括G点）左右每间隔25m建一个支撑柱，请计算各支撑柱的高度，并计算所有支撑柱的总长度(精确到米)．

11．附件（tjfx.tns）是某校高三年级学生的平均成绩，请对其进行统计分析，并完成以下问题：

（1）你认为哪两个学科的成绩相关程度高？在你所在学校选取适当容量的样本进行对比分析，说明你的结论是否具有一般性．

（2）你认为哪个学科的名次对总分名次影响最大？你的结论是否具有一般性？为什么？

（3）用高三（1）班的成绩探求与数学成绩相关程度高的学科，并以此对全年级成绩进行估计．你认为自己的估计可靠吗？为什么？

12．飞往某旅游景点的航线是一条黄金航线，这条航线上某个航班共有120个座位，这些座位的机票总是被预定．如果乘客按约登机，每个乘客可为公司带来200元的盈利，如果乘客临时取消预定，取消预定的乘客需支付给航空公司100元的违约费．据统计，每个乘客大约有10%的概率会临时取消预定，请问：

（1）从长远看，航空公司从这个航班上平均能获利多少？

（2）为使航班有较高的载客量，航空公司采取了“超额预定”策略，从一开始就接受130个座位的预定，由此也给公司带来实际搭乘数超过航班座位数的风险．公司降低风险的措施是，给每位由“超额预定”而不能登机的乘客提供两种选择：第一，换乘当天另一航班，由此航空公司因违约需赔偿每位乘客500元，且没有其他获利；第二，换乘次日同一航班，由此航空公司需为每位乘客提供住宿和违约赔偿等费用合计1800元，同时还增加了下一航班“超额约定”的风险．据统计，由超额预定而不能登机的乘客中选择换乘当天另一航班的人数是随机的．问这种“超额预定”的措施能否给航空公司带来经济利益？